Identité de Binet-Cauchy

En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre, l’identité de Binet–Cauchy, due à Jacques Philippe Marie Binet et Augustin-Louis Cauchy, dit que :

${\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}+\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$

pour des ensembles quelconques de nombres réels ou complexes (ou, plus généralement, d'éléments d'un anneau commutatif). Dans le cas particulier où a_i = c_i et b_j = d_j, elle se réduit à l'identité de Lagrange.

Relation avec l'algèbre extérieure

Utilisant le produit scalaire et le produit extérieur, l'identité peut s'écrire

$(a\cdot c)(b\cdot d)=(a\cdot d)(b\cdot c)+(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)\,$

où a, b, c, et d sont des vecteurs à n coordonnées. On peut encore la voir comme une formule donnant le produit scalaire de deux produits extérieurs en fonction de produits scalaires :

$(a\wedge b)\cdot (c\wedge d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c).\,$

Dans le cas particulier de vecteurs égaux (a=c et b=d), la formule devient (identité de Lagrange)

$|a\wedge b|^{2}=|a|^{2}|b|^{2}-|a\cdot b|^{2}$.

Démonstration

Développant le dernier terme, et ajoutant et retranchant des sommes complémentaires bien choisies, on obtient :

$\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$

$=\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}+a_{j}c_{j}b_{i}d_{i})+\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{i}d_{i}-\sum _{1\leq i<j\leq n}(a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}+a_{j}d_{j}b_{i}c_{i})-\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{i}c_{i}$,

ce qui permet de regrouper ainsi  :

$=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}c_{i}b_{j}d_{j}-\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}d_{i}b_{j}c_{j}.$

Factorisant les termes indexés par i, l'identité en résulte.

Généralisation

Une forme plus générale, connue comme la formule de Binet-Cauchy, dit que, si A est une matrice m×n et B est une matrice n×m, on a

$\det(AB)=\sum _{\scriptstyle S\subset \{1,\ldots ,n\} \atop \scriptstyle |S|=m}\det(A_{S})\det(B_{S}),$

où, S étant un sous-ensemble de {1, ..., n} ayant m éléments, A_S est la matrice m×m dont les colonnes sont celles de A ayant leurs indices dans S, et de même B_S est la matrice m×m formée des lignes de B d'indices dans S ; dans cette formule, la somme est prise sur tous les sous-ensembles possibles.

L'identité de Binet-Cauchy s'en déduit comme cas particulier, en posant

$A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},\quad B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}.$

Notes et références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Binet–Cauchy identity » (voir la liste des auteurs).